本文目录
- 解全微分方程的方法
- 常微分方程，偏微分方程，全微分方程各是什么，有什么区别
- 怎么判断一个方程是否是全微分方程
- 什么是全微分方程
解全微分方程的方法
这类微分方程都具有dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy的形式，且满足P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数的特点。解答过程如下：先由P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数，得出dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一个全微分方程的结论。接着得出通解是z=从（0,0）到（x，y）第二型曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。接下来，根据该积分与积分路径无关（因为P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数），可以选择从点（0,0）到点（x，y）的特殊路径积分，而最常选取的是沿折线路径积分，即先从（0,0）到（0，y）、再从（0，y）到（x，y）的折线或者是先从（0,0）到（x，0）、再从（x，0）到（x，y）的折线。最后z=积分结果 就是通解。例如：阁下这个题，假如选择（0,0）到（x，0）、再从（x，0）到（x，y）的折线积分，则通解是z=（0,0）到（x，0）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy + （x，0）到（x，y）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。在第一个积分里，y（=0）是常数，所以dy=0，结果成为定积分（从0到x）（x^2 +2x*0-0^2）dx=1/3 * x^3 +C1.在第二个积分里，x一直没变是常数，所以dx=0，结果成为定积分（从0到y）(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C2.于是，通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C.
常微分方程，偏微分方程，全微分方程各是什么，有什么区别
常微分方程：解得的未知函数是一元函数的微分方程。偏微分方程：解得的未知函数是多元函数的微分方程。全微分方程：一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后，它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程。
怎么判断一个方程是否是全微分方程
若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数). 根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P’(y)=Q’(x),在G内恒成立.例：判断方程（3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程，并求其通解（3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0, P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y, δP/δy=12xy=δQ/δx, 所以这是全微分方程， u(x,y)=∫4y^3dy =x^3+3x^2y^2+y^4, 方程通解:x^3+3x^2y^2+y^4=C.
什么是全微分方程
简介 全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。本段定义 给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程：称为全微分方程，如果存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得：“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数F(x0,x1,...,xn − 1,xn)，全导数为：本段势函数 在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理：给定以下形式的微分方程：其中I和J在R2的单连通开子集D上是连续可微的，那么势函数F存在，当且仅当下式成立：本段解 给定一个定义在R2的单连通开子集D上的全微分方程，其势函数为F，那么D内的可微函数f是微分方程的解，当且仅当存在实数c，使得：对于初值问题：我们可以用以下公式来寻找一个势函数：解方程：其中c是实数，我们便可以构造出所有的解。 参考资料：Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986. Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004. Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.