圆面积公式的推导，中间包含有朴素的极限、积分思想（无穷切割到无穷小后累加）和微积分思想。当然，该公式包含π，自然是以圆周公式2πr为基础。

1 圆面积夹逼于内切和外四边形

如下图，圆的面积应该大于内切四边形面积：，小于外切四边形的面积

比较接近于

系数分别是2和4，圆周长是半径以π为线性关系，圆面积呢？

2 化圆为长方形

如下图，对圆做分割后可以组合成一个近似长方形：

3 化圆为n个三角形

如下图，先从一个常量开始，切分为24个扇形：

推广到切分为n个扇形：

4 化圆为三角

把圆分成n个大小递减的圆环可以堆叠成一个三角形：

每个圆环面积 ≈ 每个长方形面积

当n→∞时，把这些圆环的面积加起来就是圆的面积。

用微积分描述就是：

5 利用极限

先来看怎样利用三角函数求圆内三角形面积，如下图：

S_蓝色三角形 =

当三角形切分得越来越多，趋于无穷小，利用极限求和，可得圆面积公式：

其中利用极限来计算：

也可以用以下过程来推理：

n→ ∞时，a→0

以上切分三角形，其实也是切分正n边形的思想，一个正n边形，对应n个相同三角形：

也就是古老的割圆术：

6 利用微积分

圆心在原点，半径为的圆方程为

当时，和是一一对应关系，可以看出函数基本微积分知识告诉我们，当我们求积分时，就是求半圆的面积，于是利用对称性，我们可知可以利用第一换元积分法等方法求出该积分的值，最后结果就是

ref:

https://www.zhihu.com/question/20502305

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